Итак, с первым вопросом, по-видимому, более или менее ясно: классификация кажется не очень хорошей потому, что не совсем понятно - какая цель преследовалась при ее создании. Позвольте теперь задать вопрос несколько из другой области. Я сейчас стал перечитывать замечательную книгу [Хомяков с соавт., 2000]. Как я понимаю, в этой книге дается перспективный метод мат.мод. - интегральное мод. Пока я в нем еще не разобрался (возможно, также возникнут вопросы), но в самом начале меня смутило то, как обосновывается его необходимость. Только поймите меня правильно, я вовсе не против новых методов. Более того,
мне кажется, их можно предлагать даже не обосновывая специально необходимость. Действительно, пусть сейчас какой-то новый метод решает задачи не лучше старых методов. Что же - он не нужен? Но вдруг завтра возникнет новая задача, которая лучше решается именно им, а не традиционными методами. Так что пусть будет. Чем больше методов - тем лучше. Итак, я совсем не против новых методов, только за.
Но давайте посмотрим, как обосновывается его необходимость. Сразу замечу, что здесь четко поставлена задача - региональный прогноз.
Сначала перечисляются собственно экологические модели (статистические, оптимизационные, модели макрокинетики трансформации веществ, балансовые и модели типа "хищник-жертва"). При этом оговаривается, что из рассмотрения пока исключены имитационные модели. Далее утверждается невозможность применения мат.аппарата вышеперечисленных типов моделей для описания ПТК регионального уровня. В частности, говорится, что несостоятельность попытки описать все компоненты геосистем с помощью моделей "хищник-жертва" очевидна. Поскольку это действительно очевидно, то тут нет никаких возражений. Но вот дальше - самое нтересное: авторы переходят к критике имитационного моделирования, которое, казалось бы, предназначено для моделирования всего чего угодно, поэтому в т.ч. оно может решить задачу моделирования в природоведении. Однако, по мнению авторов, оно не оправдало надежд, поскольку не удалось решить следующие проблемы (цитирую стр. 16-17):
1. ...Для построения моделей и их идентификации требуются трудоемкие эксперименты, охватывающие большие пространства и продолжительные во времени... Рассчитывать на получение такой всеобъемлющей инфо. по любому рассматриваемому объекту в обозримом будущем не представляется возможным...
2. Требуются значительные упрощения при описании реального объекта ...уравнениями мат.физ., либо моделями типа "хищник-жертва".
3. При попытке охарактеризовать объект с наибольшей подробностью, возникают проблемы размерности и шага численного интегрирования... шаг интегрирования навязывается быстрой переменной. Уменьшение шага численного интегрирования, хотя и создает некоторые затруднения в процессе реализации модели на ПЭВМ, поскольку увеличивается расчетное время, но на первый взгляд не представляется принципиальным ограничением. При написании системы уравнений, описывающих сложный процесс, мы принципиально не можем в правых частях избавиться от параметров, определение которых предусматривает использование неких
эмпирических данных. Последние, как известно, в любом случае имеют пусть незначительную, но все же ненулевую погрешность. Для разностной схемы, аппроксимирующей систему обыкновенных диф.ур., правые части которых заданы с некой ошибкой, существует
оптимальный шаг интегрирования, уменьшение которого ведет к... экспоненциальному падению точности. Следует отметить, что здесь идет разговор не о разнице решений "записанного неточно" уравнения и решения его численности аппроксимации (ТАК В ТЕКСТЕ, видимо, имеется ввиду "численной аппроксимации"), а о разнице решения "правильного" уравнения и решения разностной схемы, аппроксимирующей "неточно записанное" уравнение.
По первому пункту (недостаток инфо. для имитационных моделей) особых вопросов или возражений нет, замечу только, что проблема эта была давно осознана, но никто не считал ее непреодолимой; просто, во всем мире были развернуты гигантские работы по созданию баз данных, наполненных самой разнообразной информацией для имитационного (в том числе регионального и даже глобального моделирования). Этой инфо. так много, что например одно только перечисление названий этих БД с очень кратким описанием (несколько строк) заняло целую книгу [Вязилов, 2001]. Подлинный переворот здесь был совершен с началом широкого
применения дистанционного зондирования при помощи спутников.
По второму п. совершенно непонятно, зачем опять вспоминаются модели типа "хищник-жертва". Ведь это не имитационные модели, о чем авторы пишут на стр. 15:
<<Рассмотрим основные методы... исключив... имитационные модели. Среди собственно эко. моделей... распространены: 1) статистические, ... 5) модели типа "хищник-жертва"...>>
Авторы уже расправились с ними на предыдущей с. 15 (как и со всеми другими методами, не относящимися к имитационному моделированию), в частности, совершенно справедливо заявили:
<<Очевидна несостоятельность попытки описать все компоненты геосистем с помощью моделей "хищник-жертва">>.
Зачем же теперь опять вспоминать об этих очень частных моделях, действительно неприменимых к моделированию всех компонентов геоэкосистем (не потому ли, что если бы авторы рассмотрели какие-нибудь действительно имитационные модели, то они, как назло,
оказались бы применимы?).
Наконец, переходим к третьему п. Это чистая прикладная математика. Так что здесь все очень просто и четко. Но прежде всего, заметим, что утверждение, будто-бы
"шаг интегрирования навязывается быстрой переменной"
действительно справедливо, но... только в отношении очень старых примитивных методов интегрирования. Естественно, сегодня никто не мешает использовать гораздо более современные, так называемые "жесткоустойчивые методы", в которых шаг интегрирования уже не навязывается быстрой переменной, по крайней мере в том смысле (в связи с устойчивостью/неустойчивостью алгоритма), в котором он "навязывался" в древних методах. Я бы мог привести тут огромный список лит-ры по этим методам, но ограничусь тем фактом, что уже в 1988 г. на каф. БП был защищен диплом, где рассматривалась модель роста почвенных микробов и уравнения этой модели интегрировались именно жесткоустойчивым методом (неявным Эйлера); эта дипломная работа на каф. БП имеет № 831. Т.е. я хочу сказать, что это уже настолько не передний край науки, что даже студенты-почвоведы 20-летней давности это широко использовали. Но, ограничимся нежесткоустойчивыми методами.
Авторы пишут о том, что в уравнениях есть параметры, определенные с небольшой погрешностью. Это действительно всегда так. Обычно принято для теор. рассмотрения брать простейшее ур.
dX/dt = -k*Х.
Оно, в частности, описывает разложение чего-нибудь в почве, так что для нас оно действительно полезно. Константа k (константа разложения, константа скорости реакции первого порядка) действительно экспериментально определяется с некоторой погрешностью
е, т.е. вместо k мы имеем (k+e). Итак, авторы пишут:
<<Для разностной схемы, аппроксимирующей систему обыкновенных диф.ур., правые части которых заданы с некой ошибкой, существует оптимальный шаг интегрирования, уменьшение которого ведет к... экспоненциальному падению точности. Следует отметить, что здесь идет разговор не о разнице решений "записанного неточно" уравнения и решения его численной
аппроксимации", а о разнице решения "правильного" уравнения и решения разностной схемы, аппроксимирующей "неточно записанное" уравнение.>>
Проверим это. Решение "правильного" уравнения хорошо известно:
Х(t) = Хо*ехр(-k*t),
где Хо - так называемое начальное условие: значение Х в момент времени t=0.
Возьмем простейшую разностную схему - явную Эйлера (для "неточно записанного" уравнения), причем чтобы отличить решение, получаемое по разностной схеме, будем обозначать его маленькой буквой х:
х(t + h) - х(t) = -(k+e)*х(t)*h,
где h - шаг интегрирования.
Из правильного уравнения имеем:
Х(t+h) = Хо*ехр(-k*[t+h]) = Хо*ехр(-k*t)*ехр(-k*h) = X(t)*ехр(-k*h),
Из разностной схемы имеем:
х(t + h) = х(t) - (k+e)*х(t)*h = х(t)*[1 - (k+e)*h].
Таким образом, исходя из одного и того же значения, например, X(t), получим для момента времени t+h
по правильному уравнению: Х(t+h) = X(t)*ехр(-k*h),
по разностной схеме для неправильного уравнения: х(t + h) = Х(t)*[1 - (k+e)*h].
Как Вы помните, авторы утверждают, что
<<Для разностной схемы, аппроксимирующей систему обыкновенных диф.ур., правые части которых заданы с некой ошибкой, существует оптимальный шаг интегрирования, уменьшение которого ведет к... экспоненциальному падению точности>>.
Если бы это было действительно так, то, конечно, имитационное моделирование при помощи систем дифференциальных уравнений было бы невозможно. К счатью, любой желающий может убедиться, что это не так. Действительно, в качестве меры точности аппроксимации диф. ур. будем использовать разность между его истинным решением (которое в нашем простейшем случае нам известно) и решением, даваемым разностной схемой:
Х(t+h) - х(t + h) = X(t)*ехр(-k*h) - Х(t)*[1 - (k+e)*h] = X(t)*[ехр(-k*h) - 1 + (k+e)*h].
Таким образом, мы нашли погрешность аппроксимации уравнения явной разностной схемой Эйлера (кстати, это удивительно, но в реально действующих имитационных моделях используется чаще всего именно она - самая старая и самая примитивная). Теперь осталось только устремить к нулю h и посмотреть - возникнет ли экспоненциальное падение точности (т.е. экспоненциальное возрастание погрешности). Совершенно очевидно, что при стремлении h к нулю, погрешность, т.е. разность Х(t+h)-х(t + h) также стремится к нулю, как это следует из любого курса численных методов!
Итак, кратко перечислю возникшие вопросы:
1) Действительно ли Агроинформатика отрицает (не важно по каким причинам) применимость имитационных моделей для моделирования геоэкосистем? Или я что-то неправильно понял на стр. 16 [Хомяков с соавт., 2000]?
2) Приведите, пожалуйста, хотя бы один конкретный пример того, что "Для разностной схемы, аппроксимирующей систему обыкновенных диф.ур., правые части которых заданы с некой ошибкой, существует оптимальный шаг интегрирования, уменьшение которого ведет к... экспоненциальному падению точности" (т.е. приведите, пожалуйста, такую систему и, главное, такую разностную схему, для которой это выполнялось бы). Я не отрицаю, что можно такую схему специально придумать (лишив ее всех полезных свойств - А-устойчивости, точности, сходимости, монотонности - всех тех свойст, которые обычно закладывались разработчиками в известные разностные схемы), поэтому желательно привести такой пример из числа реально используемых разностных схем.
3) Как Вы понимаете, утверждение о том что "Для разностной схемы, аппроксимирующей систему обыкновенных диф.ур., правые части которых заданы с некой ошибкой, существует оптимальный шаг интегрирования, уменьшение которого ведет к... экспоненциальному
падению точности" равносильно тому, что разностные схемы лишены своих ВАЖНЕЙШИХ свойств - сходимости и точности аппроксимации. Лишены свойств, закладываемых в любую разностную схему, как Вы это можете выяснить из любого учебного пособия по разностным схемам, в т.ч. и из пособия, цитируемого авторами (напомню, речь идет о [Самарский, 1989], но у меня есть только издание 1983 г. - там Вы можете посмотреть стр. 80-83: разд. "О сходимости и точности схем"). Действительно ли Агроинформатика отрицает эти важнейшие свойства или я что-то не так понял?
ЛИТЕРАТУРА:
Вязилов Е.Д. 2001. Информационные ресурсы о состоянии природной среды и климата. – М.: Эдиториал УРСС. – 312 с.
Самарский А.А. 1983. Теория разностных схем. – М.: Наука. – 616 с.
Хомяков П.М., Конищев В.Н., Пегов С.А., Смолина С.Г., Хомяков Д.М. 2000. Моделирование динамики геоэкосистем регионального уровня. – М.: Изд-во МГУ. – 382 с.
